まだまだ続く１１月マンスリー講座・・・😓
いよいよ「数の性質と条件整理の複合問題」の最後の回です。
しかし１１月のマンスリー全体でいうと
やっと半分が終わった😱
というえげつなさです。お、重い・・・😬
前回の記事「その３の２：マンスリー講座１１月」はこちら
girl.chugakujuken-challenge.work
「数の性質と条件整理の複合問題」ですが、最後は等差数列を考える問題でした。
順に説明します。（１）は簡単です。
タテとヨコは等差数列になっています。Aを求めなさい、ということです。１２と１７から、
ヨコは差分５の等差数列となります。したがってタテヨコの交差マスは２７です。
するとタテは差分３の等差数列になりますから、Ａは２４－６＝１８と求められます。
こちらはＢを求めます。ひねってあるのは、左上で２５と１７が１マス開けてあることです。
差が２個分になるので、等差は（２５－１７）÷２＝４となります。１７の右隣は１３ですね。
次にタテの列の１３と２５の関係も同様に（２５－１３）÷２＝６、
タテ列の２５の下は３１になるので、下段のヨコ列は（４９－３１）÷２＝９となり、
差分９の等差数列になります。したがって、さっき求めた３１のマスから左に一つ分で、
３１－９＝２２がＢの答えとなります。
まずは（２２－１６）÷３＝２で、ナナメの等差数列を出します。
１６から２２までの差（マスとマスの隙間）は３個なので、３で割ったよ～
ということですね。
すると１６の左下が１４になるので、ヨコは差分６の等差数列になります。
２２の左下のマスが２２－２＝２０。ヨコの列の右から２番目のマスが、
１４＋６＋６＝２６となります。この２０のマスと２６のマスは２つ離れているので、
（２６－２０）÷２＝３で、タテは差分３の等差数列です。したがってＣのマスは
２６＋３＝２９となります。
エッ、エッグ～い😱
と私は思いました。２年生でか・・・と。これ相当な仮説思考力が必要なんじゃないか？と。
どこから手をつければいいか🥴悩むので、まずはマス目に名前をつけましょう😅
初見は自力で解きましたが、この問題は解答に解説がついていました。助かった・・・
鮮やかです。言われてみれば
ああ、そうだよ。数列の性質をちゃんと使ってる
とわかります😓でも解説見るまで気づかなかったかな・・・🥴
まずDから見て、２１も３０も「それぞれの列で３つ離れたところにある」がポイントです。
Dから３つ離れた時、３０と２１は差が９になっています。つまり
Dからひとつ離れるごとに、タテとナナメの数字は３ずつ差が開く関係である
ということです。３０－２１＝９です。そしてDからは３つ離れていますから、
ひとつ離れると開く差が、９÷３＝３であるという意味です。
すると３０と２１の一つ前のマスであるＦとＧは差が６ですから、
Ｆ＝１９・Ｇ＝２５かＦ＝２５・Ｇ＝１９ですが、Ｆ＞ＧとするとＤの数字がおかしくなるので、
Ｆ＝１９とＧ＝２５しかありえません。
このままだと難しいので、以下のような説明を追加したらいいかな？と思いました。
２１を含む数列はＤ，Ｉ，Ｆ，２１です。差分をＸとします。
３０を含む数列はＤ，Ｋ，Ｇ，３０です。差分をＹとします。
これは以下のように見なせます（この後の説明のため、数列を上下入れ替えます）。
「２つの数列で見比べる」
Ｄ，（Ｄ＋Ｙ），（Ｄ＋Ｙ＋Ｙ），（Ｄ＋Ｙ＋Ｙ＋Ｙ）←３０
Ｄ，（Ｄ＋Ｘ），（Ｄ＋Ｘ＋Ｘ），（Ｄ＋Ｘ＋Ｘ＋Ｘ）←２１
同じ「Ｄ」という数から始まりますが、差分がＸとＹで異なるため、少しずつ差が開いていきます。
上の列から下の列をそれぞれ引いてみると、
ひとつめの差はＤ－Ｄ＝０
ふたつめの差は（Ｄ＋Ｙ）－（Ｄ＋Ｘ）＝Ｙ－Ｘ
みっつめの差は（Ｄ＋Ｙ＋Ｙ）－（Ｄ＋Ｘ＋Ｘ）＝２ｘ（ＹーＸ）・・・条件Ｐ
よっつめの差は（Ｄ＋Ｙ＋Ｙ＋Ｙ）－（Ｄ＋Ｘ＋Ｘ＋Ｘ）＝３ｘ（Ｙ－Ｘ）
この「よっつめの差」が３０－２１＝９なので、３ｘ（Ｙ－Ｘ）＝３、よってＹ－Ｘ＝３
ということがわかります。
これだけだと解けないのですが、３つめの数字の関係が
図のＦ＝（Ｄ＋Ｘ＋Ｘ）、Ｇ＝（Ｄ＋Ｙ＋Ｙ）で、条件ＰよりＧ－Ｆ＝６。
さらに等差数列でＦ→２２→Ｇですから、（Ｇ－Ｆ）÷２＝３が等差、Ｆ＝１９、Ｇ＝２５
が導かれます。
娘にどう教えたらいいか、これは完全に理解できなくても「面白い～」と思えればいいかな、
と思いますが、ポイントは上の「２つの数列を見比べる」で示した部分かと思います。
ちなみに私は別の、もっと非効率な解き方をしました（以下の通り😭かっこわる～😭）
まずＦとＧに２２は入りません（等差数列なので）。次に手を動かすしかないのでＦに２３を入れます。
タテが差分２の等差数列、Ｅを含むナナメの列は差分１の等差数列になりますから、
Ｇ＝２１となります。するとＬを含むナナメの列は差分９の等差数列になるので、
Ｌ＝３９、Ｋ＝１２，Ｄ＝３と減っていきます。
一方でタテの列は下に行くほど増える数列でＤ＝２７になりますから、
先ほどのＤ＝３と矛盾してしまいます。つまり、
タテが下に行くほど増える列だと、Ｌを含むナナメの列は左下に向かって減るので、
Ｄの数字は何も入れられなくなる
とわかります（ＦとＧが２２をはさんで大小となるので、Ｆが２１や２２より大きくなると、
Ｄに入る数字はなくなるということです）。
このことから、
Ｆは２０以下の数字である
と考えられます。タテの列もＬを含むナナメの列も、下に向かって減っていく列となります。
あとは、数字を入れてみます😅
タテの列の差分を２とすると、Ｄ＝２１－２－２ー２で１５です。
このときＦ＝１９なので、Ｇ＝２５になります。３０－２５＝５でナナメの等差を求めると、
Ｄ＝３０－５－５ー５で１５となります😮
本当にこれで終わりか？ということで、タテの差分を３とすると・・・
タテよりＤ＝２１－３－３ー３で１２。Ｆ＝１８、Ｇ＝２６
ナナメよりＤ＝３０ー４－４ー４で１８。合わないです😌
しかもＤはタテから導くとさっきより減り、ナナメから導くとＤはさっきより増えました。
これはＦ←２２←Ｇの等差数列から、
Ｆが小さくなるほどＧが大きくなり、タテの差分が大きくなるのにナナメの差分は小さくなる
という関係を示しています。つまり、
これ以上タテの差分を大きくしてＤを求めることには、意味がない
と判断できます。まとめると、
タテの列もナナメの列も、下に向かって減っていく等差数列であると判断する
仮の数字を入れて確かめる
と解きました。四谷大塚の鮮やかさと比べると、格好悪いですね～😵
これがテストだったら、解けたとしても間に合わない、ということです。
この問題は授業でまったく触れられなかったそうなので、教えるべき問題なのかわかりません😓
ただ、
マンスリー講座の問題難易度に上限はないのかも～😵
という絶句感はありました😅
たった２時間で、いったいどれくらいの難問をやれると想定しているのか・・・🤔
教材の半分も進めないのに、授業でポカンとしてしまった子が結構居たそうです。
マンスリー基準をクリアした子だけの集まりのはずなのに・・・😱
こんななのに、まだ「その４：マンスリー講座２年生１１月」に続きます・・・👋
